三相永磁同步電機之有限元法的基本原理

有限元法的基本思想是：首先將偏微分方程的邊值問題等價為條件變分問題；再利用合適的單元類型對求解區(qū)域進行剖分，在單元上構造相應的插值函數(shù)，對各個單元進行單元分析，得到各單元內(nèi)能量的表達式和單元能量對3個節(jié)點磁位的導數(shù)；然后對所有單元的分析結果進行總體合成，將能量泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為多元能量函數(shù)的極值問題，建立以各節(jié)點磁位為變量的代數(shù)方程組，并按第一類邊界條件進行修正；最后求解該方程組，得到各節(jié)點的磁位，進而得到相應的磁場量。

下面以二維恒定磁場為例說明有限元法求解磁場問題的基本原理。

一、條件變分問題

根據(jù)變分原理，可將偏微分方程的邊值間題等價為條件變分問題，即能量泛函的極值問題。與式（4一17）對應的條件變分問題為。偏微分方程的邊值問題等價為條件變分問題后，邊界條件發(fā)生了變化，第一類邊界條件仍作為附加條件列出，稱為強加邊界條件；第二類邊界條件體現(xiàn)為一項線積分，自動滿足，稱為自然邊界條件；求解區(qū)域內(nèi)部媒質(zhì)分界線上的邊界條件也由能量泛函求極值自動滿足，也是自然邊界條件。自然邊界條件不再在條件變分中列出。

二、剖分插值

剖分就是利用合適的單元類型將求解區(qū)域劃分為有限個單元。在求解二維場時，普遍采用三節(jié)點三角形單元，將三角形的3個頂點作為節(jié)點，雖然精度稍差，但能滿足一般工程問題的需要。有限元計算的精度取決于剖分的合理性和疏密程度，在進行剖分時，需注意以下問題：

( l）三角形單元不可重疊。

( 2）對于邊界或內(nèi)部交界面上的三角形，只能有一條邊在邊界上。

( 3）當邊界或內(nèi)部交界面為曲線時，用相應的折線段近似代替曲線段。

( 4）任意一個三角形的頂點必須同時是其相鄰三角形的頂點。

( 5）若邊界上有不同的邊界條件，它們的交界點應是三角形的頂點。

( 6）一個三角形的三條邊的長度不要懸殊太大，盡量為銳角三角形。

( 7）在場梯度較大的地方，剖分得細密些；而在場梯度較小的地方，剖分得稀疏些。

圖4一3為一個三角形單元，三角形3個頂點（節(jié)點）逆時針方向編號。在三角形單元內(nèi)部，任一點的磁位A二可以通過以下的線性插值函數(shù)得到。

三、單元分析

對求解區(qū)域內(nèi)的每一個單元，分別計算其能量函數(shù)對3個節(jié)點磁位的一階導數(shù)。當該單元的所有邊都不在第二類邊界上時，其能量泛函只有重積分，沒有線積分。將式（4一24 )代入式（4一18 )，并求能量泛函對3個節(jié)點磁位的導數(shù)，得。

四、總體合成

建立一個nxn的系數(shù)矩陣［月和一個n行的矩陣｛P }，其中n為求解區(qū)域的總節(jié)點數(shù)，將其所有的元素清零，然后將各單元系數(shù)矩陣和向量的各元素分別按其下標的地址疊加到系數(shù)矩陣，得到。

五、強加邊界條件的處理

考慮到強加邊界條件，需要對式（4一31）進行修改。設第k ‘個節(jié)點為第一類邊界條件上的節(jié)點，其磁位已知為A解。，則式（4一31）中第澎個方程變?yōu)?，同時其他方程變?yōu)椤?/p>

六、方程組求解

求解式（4一33 )，即可得到求解區(qū)域內(nèi)所有節(jié)點的磁位，進而根據(jù)式（4一24）得到相應的場量。